Имеются таблицы А и В, в ячейки которых вписаны целые числа. С таблицей А можно проделывать следующие действия: 1) прибавлять к строке другую строку, умноженную на произвольное целое число; 2) прибавлять к столбцу другой столбец, умноженный на произвольное целое число. (Например, если к первой строке таблицы A прибавить третью строку, умноженную на 2, то получится таблица, изображенная на рисунке под словом пример.)
Можно ли, проделав некоторое количество указанных действий с таблицей А, получить таблицу B? Ответ обоснуйте.
Рассмотреть определители подтаблиц размеров 2 на 2 указанных таблиц на предмет их кратности некоторому натуральному числу. Доказать, что при разрешенных преобразованиях такая кратность сохраняется.
Для таблицы 2 на 2 вида число будем называть определителем этой таблицы.
Пусть в составленной из целых чисел таблице
у любой подтаблицы размера 2 на 2 (т.е. подтаблицы вида ) определитель делится на целое число m. Проделаем с таблицей (1) одно из указанных в задаче действий. Тогда у получившейся в результате таблицы определитель любой ее подтаблицы размера 2 на 2 также будет делиться на m. Действительно, проведем доказательство данного факта для действия 1 из условия задачи (для столбцов доказательство аналогично). Пусть, без ограничения общности, к первой строке прибавляется вторая, умноженная на целое число b: В получившейся таблице все подтаблицы 2 на 2, не содержащие элементы первой строки таблицы (2), остались без изменения, и потому их определитель, естественно, на m по-прежнему делится. Поэтому проверим, что в таблице (2) определители подтаблиц 2 на 2, включающие элементы первой строки, делятся на m. Это нужно проверить в двух случаях: 1) подтаблица 2 на 2 составлена из элементов первой и второй строки таблицы (2) и 2) таблица 2 на 2 составлена из элементов первой и еще какой-то (отличной от второй) строки таблицы (2).
• Случай 1. Определитель таблицы равен что совпадает с определителем соответствующей подтаблицы таблицы (1), а значит делится на m по условию;
• Случай 2. Рассмотрим подтаблицу, составленную из элементов первой и, например, третьей строки: Ее определитель
равен Числа и представляют собой определители подтаблиц таблицы (1), а значит, делятся на m. Следовательно, на m делится и определитель (3). Остается заметить, что определители всех подтаблиц 2 на 2 таблицы А делятся на 3, в то время как таблица В содержит подтаблицу (выделена серым), определитель которой на 3 не делится. Значит, получить таблицу В из таблицы А указанными действиями нельзя.
